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高效洗牌：Fisher-Yates算法详解

news 2025/11/12 23:48:37

在编程中，有时候我们需要对数据进行随机打乱操作，比如卡牌游戏中的洗牌、抽奖程序中的随机排序等。

而实现真正公平且高效的随机打乱并非易事，那么，我们可以尝试使用 Fisher-Yates 算法解决这一问题。

什么是 Fisher-Yates 算法？

Fisher-Yates 算法（也称为 Knuth 洗牌算法）是一种用于随机打乱数组元素顺序的高效算法，它由英国统计学家 Ronald Fisher 和 Frank Yates 于 1938 年提出，后来经计算机科学家 Donald Knuth 改进并推广。该算法的核心思想是通过迭代方式，从数组末尾开始，将每个元素与它前面（包括自身）的随机一个元素进行交换，从而实现完全随机的排列。

为什么选择 Fisher-Yates 算法？

Fisher-Yates 算法相比其他洗牌方法有几个显著优势：

公平性：每个元素出现在每个位置的概率相等，确保了真正的随机性。
高效性：时间复杂度为 O (n)，只需遍历一次数组。
空间效率：原地洗牌，不需要额外的存储空间，空间复杂度为 O (1)。

相比之下，一些直观但低效的方法（如生成随机序列后排序）不仅时间复杂度高（O (n log n)），还可能导致概率分布不均。

Fisher-Yates 洗牌算法原理

Fisher-Yates 算法的核心思想是通过逐步交换数组元素实现随机排列。算法从数组末尾开始，每次选择一个随机位置（范围从当前索引到数组起始位置），并将该位置的元素与当前索引位置的元素交换。这一过程确保每个元素在最终排列中出现的概率均等。

算法步骤

初始化数组
给定一个长度为 n 的数组 arr，从最后一个元素（索引 n-1）开始逆向遍历。
随机选择交换位置
对于当前索引 i（从 n-1 递减到 1），生成一个随机整数 j，满足 0 ≤ j ≤ i。
交换元素
将 arr[i] 与 arr[j] 交换，确保每个元素在未处理部分被选中的概率一致。

这个过程可以想象成：我们从牌堆底部开始，每次随机从剩下的牌中抽一张放到当前位置，然后继续处理前一张牌。

假设有一个长度为 n 的数组。
从数组的最后一个元素（索引 i = n-1）开始处理。
生成一个范围在 [0, i] 之间的随机整数 j。
交换数组中索引 i 和 j 处的元素。
将 i 的值减 1，重复步骤 3-4，直到 i 等于 0。

数学证明

每一步交换时，元素 arr[i] 被固定到最终位置的概率为 1/n，且后续操作不会影响其位置。通过数学归纳法可证明所有排列的概率均为 1/n!，满足均匀随机性。

应用场景

扑克牌洗牌、随机播放音乐列表等需要公平随机排列的场景。
机器学习中的数据集随机化处理。

实际应用案例：卡牌游戏洗牌

Fisher-Yates 算法最经典的应用就是卡牌游戏中的洗牌操作。以下是基于该算法完成斗地主洗牌发牌系统，展示如何使用该算法实现一副扑克牌的洗牌：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>// 常量定义
#define TOTAL_CARDS 54       // 总牌数
#define PLAYER_CARDS 17      // 每个玩家的牌数
#define BOTTOM_CARDS 3       // 底牌数量
#define SUIT_COUNT 4         // 花色数量
#define RANK_COUNT 13        // 每种花色的牌数
#define JOKER_COUNT 2        // 王牌数量// 牌的花色和点数定义
const char *suits[] = {"红桃", "黑桃", "方块", "梅花"};
const char *ranks[] = {"3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "J", "Q", "K", "A", "2"};
const char *jokers[] = {"小王", "大王"};// 牌的结构体
typedef struct {int suit;  // 0-3:普通花色, 4:小王, 5:大王int rank;  // 0-12:普通牌点数, -1:王牌
} Card;// 函数声明
void initDeck(Card *deck);
void shuffleDeck(Card *deck);
void dealCards(const Card *deck, Card *player1, Card *player2, Card *player3, Card *bottomCards);
void printCard(Card card);
void sortCards(Card *cards, int count);
int compareCards(const void *a, const void *b);int main() {Card deck[TOTAL_CARDS];Card player1[PLAYER_CARDS], player2[PLAYER_CARDS], player3[PLAYER_CARDS];Card bottomCards[BOTTOM_CARDS];// 初始化并洗牌initDeck(deck);shuffleDeck(deck);// 发牌dealCards(deck, player1, player2, player3, bottomCards);// 排序玩家的牌sortCards(player1, PLAYER_CARDS);sortCards(player2, PLAYER_CARDS);sortCards(player3, PLAYER_CARDS);// 打印结果printf("玩家 1 的牌:\n");for (int i = 0; i < PLAYER_CARDS; i++) {printCard(player1[i]);}printf("\n\n");printf("玩家 2 的牌:\n");for (int i = 0; i < PLAYER_CARDS; i++) {printCard(player2[i]);}printf("\n\n");printf("玩家 3 的牌:\n");for (int i = 0; i < PLAYER_CARDS; i++) {printCard(player3[i]);}printf("\n\n");printf("底牌:\n");for (int i = 0; i < BOTTOM_CARDS; i++) {printCard(bottomCards[i]);}printf("\n");return 0;
}// 初始化牌组
void initDeck(Card *deck) {int index = 0;// 初始化普通牌for (int suit = 0; suit < SUIT_COUNT; suit++) {for (int rank = 0; rank < RANK_COUNT; rank++) {deck[index].suit = suit;deck[index].rank = rank;index++;}}// 初始化王牌deck[index].suit = 4;  // 小王deck[index].rank = -1;index++;deck[index].suit = 5;  // 大王deck[index].rank = -1;
}// 洗牌（Fisher-Yates 算法）
void shuffleDeck(Card *deck) {srand((unsigned)time(NULL));for (int i = TOTAL_CARDS - 1; i > 0; i--) {int j = rand() % (i + 1);  // 生成0到i的随机数// 交换牌Card temp = deck[i];deck[i] = deck[j];deck[j] = temp;}
}// 发牌
void dealCards(const Card *deck, Card *player1, Card *player2, Card *player3, Card *bottomCards) {int index = 0;// 给三个玩家发牌for (int i = 0; i < PLAYER_CARDS; i++) {player1[i] = deck[index++];player2[i] = deck[index++];player3[i] = deck[index++];}// 发底牌for (int i = 0; i < BOTTOM_CARDS; i++) {bottomCards[i] = deck[index++];}
}// 打印单张牌
void printCard(Card card) {if (card.suit >= 4) {// 王牌printf("%s\t", jokers[card.suit - 4]);} else {// 普通牌printf("%s%s\t", suits[card.suit], ranks[card.rank]);}
}// 排序牌组
void sortCards(Card *cards, int count) {qsort(cards, count, sizeof(Card), compareCards);
}// 牌的比较函数（用于排序）
int compareCards(const void *a, const void *b) {const Card *cardA = (const Card *)a;const Card *cardB = (const Card *)b;// 先比较点数（大小王特殊处理）int valueA, valueB;if (cardA->suit >= 4) {valueA = 15 + (cardA->suit - 4);  // 小王15，大王16} else {valueA = cardA->rank + 3;  // 3是3，...，2是15}if (cardB->suit >= 4) {valueB = 15 + (cardB->suit - 4);} else {valueB = cardB->rank + 3;}// 如果点数不同，直接比较点数if (valueA != valueB) {return valueA - valueB;}// 点数相同则比较花色return cardA->suit - cardB->suit;
}