深度学习-线性神经网络

课程学习自李牧老师B站的视频和网站文档

https://zh-v2.d2l.ai/chapter_preliminaries

线性回归基本概念

线性模型可以看作单层神经网络，由多个输入得到一个输出

线性回归可以解决预测多少的问题

适用问题：

1. 数值预测：
   • 预测连续值，如房价（基于面积、位置等）、股票价格（基于历史数据）、温度预测（基于时间和天气因素）。
   • 示例：用房屋面积和卧室数预测房价。
2. 趋势分析：
   • 分析变量之间的线性趋势，如销售额随广告投入的增长。
   • 示例：研究学习时间对考试成绩的影响。
3. 因果关系探索：
   • 初步评估输入特征对输出的影响（如广告支出对销售额的贡献）。
   • 示例：分析肥料用量对作物产量的关系。
4. 数据标准化：
   • 用线性回归拟合基线（如去趋势数据），用于时间序列分析。
   • 示例：移除季节性影响后的销售预测。

下面两组参数分别表示求一个损失均值，期望可以最小化损失的w和b

解析解

随机梯度下降

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降

公式表示梯度的原先的w减去均值乘上学习率

批量大小和学习率（沿着梯度走多长的方向）都是预先指定的

训练过程中不断更新的参数叫超参数，调参是选择超参数的过程

矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

什么是矢量化？

• 矢量化（vectorization）是指用向量或矩阵操作替代循环，特别是在计算中同时处理多个数据点。这是一种利用现代处理器（如 CPU 或 GPU）并行计算能力的技巧。

import numpy as np
import time
import torch
import math
class Timer: """记录多次运行时间"""def __init__(self):self.times = []self.start()def start(self):"""启动计时器"""self.tik = time.time()def stop(self):"""停止计时器并将时间记录在列表中"""self.times.append(time.time() - self.tik)return self.times[-1]def avg(self):"""返回平均时间"""return sum(self.times) / len(self.times)def sum(self):"""返回时间总和"""return sum(self.times)def cumsum(self):"""返回累计时间"""return np.array(self.times).cumsum().tolist()n=10000
a=torch.ones([n])
b=torch.ones([n])c=torch.zeros([n])
time1=Timer()
for i in range(n):c[i]=a[i]+b[i]
print(f"{time1.stop()} sec")time2=Timer()
d=a+b
print(f"{time2.stop()} sec")

正态分布和平方损失

极大似然估计

什么是极大似然估计？

• 极大似然估计是一种统计方法，用于根据观测数据找到最可能产生这些数据的模型参数。简单说，就是从数据“反推”出最合理的参数值。

线性回归实现

从0开始

因为感觉应该也不会从头开始写函数，所以就只分析一下背后的原理不做实现了

生成数据集没什么好说的，注意，features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save"""生成y=Xw+b+噪声"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

在下面的代码中，我们定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序random.shuffle(indices)for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

yield用于实现一个 生成器（Generator），它的核心作用是：

按批次（batch）逐个返回数据和标签，而不是一次性返回所有数据。

在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前， 我们需要先有一些参数。 在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重， 并将偏置初始化为0。

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

初始化参数后每次更新参数时计算梯度，然后从梯度减小的方向更新梯度

定义线性回归模型：

def linreg(X, w, b):  #@save"""线性回归模型"""return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数：

def squared_loss(y_hat, y):  #@save"""均方损失"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法：在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。每 一步更新的大小由学习速率lr决定

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save"""小批量随机梯度下降"""with torch.no_grad():for param in params:param -= lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()

params: 模型参数列表（如 [w, b]），每个参数是张量且带有 .grad属性。

with torch.no_grad():

• 作用：禁用梯度计算上下文，确保参数更新时不会记录梯度（避免干扰后续反向传播）

• 除以 batch_size：梯度是批次内样本梯度的总和，除以批次大小得到平均梯度（保证不同批次大小下的稳定性）。也叫梯度归一化，因为pytorch默认对批次内样本梯度求和

param.grad.zero_()

• 清空梯度：将当前参数的梯度置零，避免下一次反向传播时梯度累加

那么到这里，数值初始化，损失计算，优化函数都搞定了，就可以开始训练了

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_lossfor epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失# 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，# 并以此计算关于[w,b]的梯度l.sum().backward()sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

torch.no_grad()的两种用途

1. 参数更新时（sgd内）：避免更新操作被记录到计算图中。
2. 评估时：禁用梯度以节省内存和计算资源。

为什么需要 l.sum().backward()？

• PyTorch 的 backward()需要标量输入。如果 l是形状为 (batch_size, 1)的张量，必须先求和或均值转为标量。

• 梯度计算逻辑：

  对每个样本的损失求梯度后，PyTorch 默认对批次内梯度求和（sum），因此后续需手动除以 batch_size（在 sgd中实现）。

调用现成库

接下来try一try调用框架现成的库

同样先生成数据

true_w=torch.tensor([3,-3.4])
true_b=3.2
x,y=synthetic_data(true_w,true_b,1000)

读取数据可以调用现成的数据迭代器来进行，同时可以指定样本batch的大小，以及是否打乱数据

DataLoader其实本质上就是一个迭代器

def load_array(data_arrays,batch_size,is_train=True):dataset=data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset,batch_size,shuffle=is_train)batch_size=10
data_iter=load_array((x,y),batch_size)
print(next(iter(data_iter)))

对于标准深度学习模型，我们可以使用框架的预定义好的层。这使我们只需关注使用哪些层来构造模型，而不必关注层的实现细节。 我们首先定义一个模型变量net，它是一个Sequential类的实例。 Sequential类将多个层串联在一起。 当给定输入数据时，Sequential实例将数据传入到第一层， 然后将第一层的输出作为第二层的输入，以此类推。

单层神经网络就是全连接层，在PyTorch中，全连接层在Linear类中定义。 值得注意的是，我们将两个参数传递到nn.Linear中。 第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。

from torch import nn
net=nn.Sequential(nn.Linear(2,1))

指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样， 偏置参数将初始化为零。

net[0].weight.data.normal_(0,0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

损失函数和优化算法同样有现成的

loss=nn.MSELoss()
trainer=torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.03)

接下来开始训练，使用模型net计算输出，之前生成的优化算法trainer更新结果

num_epochs=3
for epoch in range(num_epochs):for x,y in data_iter:l=loss(net(x),y)trainer.zero_grad()l.backward()trainer.step()l=loss(net(X),Y)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

完整代码

from operator import ne
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save"""生成y=Xw+b+噪声"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)return X, y.reshape((-1, 1))
true_w=torch.tensor([3,-3.4])
true_b=3.2
X,Y=synthetic_data(true_w,true_b,1000)def load_array(data_arrays,batch_size,is_train=True):dataset=data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset,batch_size,shuffle=is_train)batch_size=10
data_iter=load_array((X,Y),batch_size)from torch import nn
net=nn.Sequential(nn.Linear(2,1))net[0].weight.data.normal_(0,0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)loss=nn.MSELoss()
trainer=torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=0.01)num_epochs=5
for epoch in range(num_epochs):for x,y in data_iter:l=loss(net(x),y)trainer.zero_grad()l.backward()trainer.step()l=loss(net(X),Y)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

softmax回归

用于解决分类的问题，预测图片中物品是哪一类

什么是置信度？

• 置信度（confidence）表示模型对某个预测结果的“把握程度”，通常是一个介于 0 到 1 之间的值。数值越高，模型越认为预测正确。

对分类进行编码

softmax本质上也是一个根据输入计算得到输出的单层网络

什么是全连接层？

• 全连接层（Fully Connected Layer, FC Layer）是神经网络中的一种层级结构，每个神经元都与前一层的所有神经元相连，像一张“全网”联系的网络，用于整合和变换特征。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。 此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。 例如， 在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。 这个属性叫做校准（calibration）。

接下来对预测的概率值做一个处理，使其非负且总和为1

第一个公式描述的是给定x的前提下所有标签的连乘概率，每一次事件都会对结果产生影响，MLE（最大似然估计）就是要最大化这个概率

第二个公式是取对数，将乘法转换为加法，最大值改为求最小值

第三个公式描述的是损失函数

图像数据集

图像数据集使用Fashion-MNIST数据集

• 像素值范围：

  • 在计算机中，一张图像由像素（Pixel）组成，每个像素的颜色通常用数值表示。
  • 对于 8位灰度图像（如FashionMNIST），每个像素的取值范围是 [0, 255]：
    • 0表示纯黑色，
    • 255表示纯白色，
    • 中间值表示不同深浅的灰色。
  • 对于彩色图像（如RGB），每个通道（红、绿、蓝）的取值范围也是 [0, 255]。

• 归一化（Normalization）：

  • 归一化是指将数据缩放到一个固定的范围（这里是 [0, 1]）。
  • transforms.ToTensor()会自动将像素值从 [0, 255]除以 255，转换到 [0, 1]。

• 灰度图像（Grayscale Image）：

  • 是一种单通道图像，每个像素只有一个数值表示亮度（没有颜色信息）。
  • 数值范围通常是 [0, 255]：
    • 0：纯黑色，
    • 255：纯白色，
    • 中间值：灰色（如 128是中灰色）。

• FashionMNIST 数据集是灰度图像，每张图片大小为 28x28像素，像素值范围 [0, 255]。

• 通过 ToTensor()转换后：

  • 形状从 (28, 28)变为 (1, 28, 28)（添加了通道维度）。
  • 像素值从 [0, 255]缩放到 [0, 1]。

先下载数据

trans=transforms.ToTensor()
mnist_train=torchvision.datasets.FashionMNIST(root='./data',train=True,transform=trans,download=True
)
mnist_test=torchvision.datasets.FashionMNIST(root='./data',train=False,transform=trans,download=True
)

再展示图片

import re
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
import matplotlib.pyplot as plttrans=transforms.ToTensor()
mnist_train=torchvision.datasets.FashionMNIST(root='./data',train=True,transform=trans,download=True
)
mnist_test=torchvision.datasets.FashionMNIST(root='./data',train=False,transform=trans,download=True
)
def get_fashion_mnist_labels(labels):  """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat','sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']return [text_labels[int(i)] for i in labels]def show_fashion_mnist(imgs,num_rows,num_cols,title=None,scale=1.5):figsize=(num_cols * scale, num_rows* scale)_, axes = plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)axes = axes.flatten()for i, (ax,img) in enumerate(zip(axes, imgs)):if torch.is_tensor(img):ax.imshow(img.numpy())else:ax.imshow(img)ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)      ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)if title:ax.set_title(title[i])plt.show()return axes
X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_fashion_mnist(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, title=get_fashion_mnist_labels(y))

接下来通过内置数据迭代器来读取小批量数据

batch_size = 256
train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=4)

综合下载数据并返回迭代器

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save"""下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))

从0开始实现softmax

将28*28的图像展平后得到784的向量，也就是一个w，而我们有十个输出，所以有10个w

所以权重将构成一个784*10的矩阵

num_inputs = 784
num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

def softmax(X):X_exp = torch.exp(X)partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

定义模型：其实就是将数据转换为w*x+b

def net(X):return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

在分类问题中，最常用的损失函数就是交叉熵函数

• 分类任务需要模型输出 “属于某一类的概率”（如“这张图是猫的概率是90%”）。
• 交叉熵直接衡量 预测概率分布 和 真实标签分布 的差异，完美匹配这一需求。

具体实现

def cross_entropy(y_hat, y):return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])cross_entropy(y_hat, y)

softmax求精度，就是把预测值跟真实值作比较，最后用正确数/总数，下面描述的其实是怎么得到预测值的一个过程

利用框架API实现

我们还是一样先读取数据

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))batch_size = 256
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size)

进行w和b的初始化

net=nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784, 10))def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, mean=0, std=0.01)nn.init.constant_(m.bias, 0)net.apply(init_weights)

模型训练代码

import torch
from torch import nn
from torch.utils.data import DataLoader
from torchvision import transforms, datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 1. 数据加载函数
def load_data_fashion_mnist(batch_size):"""下载Fashion-MNIST数据集并返回数据加载器"""transform = transforms.ToTensor()train_data = datasets.FashionMNIST(root="./data", train=True, transform=transform, download=True)test_data = datasets.FashionMNIST(root="./data", train=False, transform=transform, download=True)return (DataLoader(train_data, batch_size, shuffle=True, num_workers=0),  # Windows必须设为0DataLoader(test_data, batch_size, shuffle=False, num_workers=0))# 2. 模型定义
def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)nn.init.zeros_(m.bias)net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784, 10)
)
net.apply(init_weights)# 3. 训练工具
loss = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)def accuracy(y_hat, y):"""计算预测正确的数量"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.sum())class Accumulator:"""用于累加多个指标"""def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]# 4. 可视化类（适配普通Python脚本）
class Animator:def __init__(self, xlabel='epoch', legend=None, figsize=(8, 4)):self.fig, self.ax = plt.subplots(figsize=figsize)self.xlabel = xlabelself.legend = legendself.lines = Noneplt.show(block=False)  # 非阻塞显示def update(self, x, y_values):"""更新图表数据"""if self.lines is None:# 第一次调用时创建线条self.lines = []for _ in range(len(y_values)):line, = self.ax.plot([], [])self.lines.append(line)if self.legend:self.ax.legend(self.lines, self.legend)self.ax.grid()# 更新每条线的数据for line, y in zip(self.lines, y_values):x_data = list(line.get_xdata())y_data = list(line.get_ydata())x_data.append(x)y_data.append(y)line.set_data(x_data, y_data)# 调整坐标轴范围self.ax.relim()self.ax.autoscale_view()self.ax.set_xlabel(self.xlabel)self.fig.canvas.draw()plt.pause(0.01)  # 短暂暂停让GUI更新# 5. 训练和评估函数
def train_epoch(net, train_iter, loss, optimizer):"""训练一个epoch"""metric = Accumulator(3)  # 训练损失总和，训练准确度总和，样本数for X, y in train_iter:y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)optimizer.zero_grad()l.backward()optimizer.step()metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())return metric[0]/metric[2], metric[1]/metric[2]  # 平均损失，准确率def evaluate_accuracy(net, data_iter):"""评估模型在数据集上的准确率"""net.eval()  # 评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数，总预测数with torch.no_grad():for X, y in data_iter:metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())return metric[0] / metric[1]def train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, optimizer):"""完整训练过程"""animator = Animator(xlabel='epoch', legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])for epoch in range(num_epochs):train_loss, train_acc = train_epoch(net, train_iter, loss, optimizer)test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)animator.update(epoch + 1, (train_loss, train_acc, test_acc))plt.show(block=True)  # 训练结束后保持窗口显示# 6. 主程序
if __name__ == '__main__':# 参数设置batch_size = 256num_epochs = 10# 加载数据train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size)# 开始训练print("开始训练...")train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, optimizer)print("训练完成!")# 保存模型torch.save(net.state_dict(), 'fashion_mnist_model.pth')print("模型已保存到 fashion_mnist_model.pth")

后面写的有点草率，一直学一个东西会疲劳，先调整一下再回来接着学