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c语言-数据结构-如何用分冶法求得二叉树的节点数与高度？

news 2025/7/20 6:03:34

二叉树

前言
一、二叉树的高度
二、二叉树的节点总数
三、二叉树的第k层节点的个数

前言

本文讲解如何求出二叉树的高度等问题

一、二叉树的高度

我们有两种方式，一种是遍历，第二种则是分冶法，因为遍历比较麻烦并且容易出错，遗漏节点，因此我们在这里讲解优解，也就是分冶法

顾名思义，分冶法，便是将一个问题转化为若干个小问题去解决，而我们遍历二叉树，二叉树分为根，左子树和右子树，那么我们便可以遍历根，将遍历左子树和右子树分别视为两个小问题
比如
在这里插入图片描述
以这张图为例，校长想要知道学校里的职务共分了多少级别，但他不能一个个的去找人调查，那么他就调用他所知道的两个院长，让院长分别去统计

院长呢，就调用自己手下的系主任，让系主任分别去调查

系主任就调用自己手下管理的辅导员，辅导员接着调用班长，班长调用舍长，就这么一层一层的调用下去，最后再一层层地返回，就可以得到最终结果

而最终分了多少级别，看的是级别最多的一方加本身这个级别，比如说信息学院中，院长设置了一个部长级别，部长下一个级别是系主任级别，而数理学院却没有设置部长级别，那么信息学院就比数理学院多了一个级别，并且级别数量要按照信息学院的来算，院长得到学院里除了自己之外的级别数量，再加上自己本身，便得到了整个学院的级别总数

同样，计算二叉树的高度也是如此，我们将根节点的左子树高度和右子树高度进行比较，得到高度大的那一方，加上根节点本身的一层，便是二叉树的高度

即：二叉树的高度是左右子树高度大的 + 1
在这里插入图片描述

如图，lenum代表左子树遍历，rinum代表右子树遍历

我们从A节点开始，判断不为空，走下一步；
下一步执行TreeHeight（root->left），走到了B节点；

判断B节点不为空，下一步走到了D节点；

判断D节点不为空，下一步传递D节点的left指针走到了NULL，判断为空，返回到传D节点的函数，此时D的lenum为0；执行下一步，传递D节点的right指针，走到了NULL，判断为空，返回到传D节点的函数，此时D的rinum为0，进行rinum和lenum的大小比较，比较之后将大的那个数加1

注：加1的原因是它本身也要算是一个节点，比如一棵只有ABC三个节点的树，A的lenum和rinum都是1，比较之后采用rinum（左右子树高度相等时代码采取右子树的高度，也可修改为左子树的高度），而A节点本身也是独占一层，那么就需要rinum + 1，也就是算上本身

此时返回到传B节点的函数中，左子树D返回的值是1，即B的lenum为1

而右子树E同理，返回也是1，那么B的rinum也为1

比较后相等，则采用rinum + 1，此时传递B节点的函数返回2

也就是说A的lenum为2，接着进入A的右子树CFG，返回也为2，即rinum为2

之后进行判断，相等，采取rinum + 1 = 3，返回3，结束

最终得到该二叉树的高度为3

有的写法可能更加简洁，但是过程却不一定，比如：

int TreeHeight(Tree* root)
{if (root == NULL){return 0;}
return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right)? TreeHeight(root->left) + 1: TreeHeight(root->right) + 1;
}

这种写法代码看似是简便了，但是我们我们每个节点都会被传递调用TreeHeight函数很多次
比如，我们在比较TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right)时，就要从A节点到NULL全部进行一次遍历，判断完成之后，我们要返回数值对吧，但是返回的是TreeHeight(root->left) + 1或者是 TreeHeight(root->right) + 1，我们不知道这两个函数的返回值是多少，因为我们刚刚只是用数值进行了比较，并没有定义一个变量开辟空间去存储它们的值，因此返回之后这个值就消失了，相当于没有任何一个院长、系主任记得这个数，校长也不记得，所以我们还要再次调用这个函数去求他具体的数值是多少
而图中处于最底层的舍长，先调用左NULL，再进入右NULL，返回，后面求值再调用左NULL，再调用右NULL，需要调用很多次，相当于舍长要一次次的统计宿舍人数，这就会使得过程十分麻烦，因此我们并不建议使用这种方法，而是采用每次都定义变量开辟空间去存储它的值

二、二叉树的节点总数

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同理，求二叉树的节点总数 ,相当于校长想要知道学校的总人数

比如，当刚开学时，学校人数较少的时候，比如十几个人，校长如果一个一个统计的话会很方便，但是当学校正式开学学生全部到校有几千人时，校长不可能拿着小本本挨个人统计，因为这会很麻烦，此时校长就可以调用手下的院长，让院长统计每个院的人数，然后相加再加自己本身就得到学校的总人数了

而每个院长就会调用自己手下的系主任，让系主任去统计每个系有多少人，依次相加再加本身，就得到自己院的人数了

因此，统计二叉树节点总数时，我们要采用分冶法去解决
在这里插入图片描述
如图，我们同样采用分冶法，结果就是左子树所有节点+右子树所有节点+本身（1）

我们采用左子树和右子树相加加本身的解法，恰好可以计算到所有节点，比如我们通过计算演示得到D节点的TreeSize(root->left) 和TreeSize(root->right)均为0，返回0 + 0 + 1（1为D节点本身），此时回到传递B节点的函数中，此时B节点的TreeSize(root->left)结束，并且值为1，进入TreeSize(root->right)，计算出也是1，那么TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right)为2，最后加本身，即加1，得到3

验证BDE刚好为三个节点，后面过程同上