【数据结构】堆（下）+ 二叉树

上期回顾：【数据结构】树（堆）·上

一.堆的应用

1.1堆排序（向下调整在上一期）

向上调整算法建堆：

首先先回顾一下向上调整算法

void AdjustUP(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//找到父结点的位置while (child > 0)//循环，确保父结点一定小于（大于）子结点{//小堆:<//大堆:>//     |//     Vif (arr[child] > arr[parent]){//调整位置Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}elsebreak;}
}

在上一期我们也学过了向下调整算法建堆，其是通过由下向上循环，通过确保父结点下方的是堆结构，而向上算法建队=堆就刚好反过来，是由上到下进行循环。

//堆排序
void HeapSort(int *arr,int n)
{//建堆--向下调整for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDOWN(arr, i, n);}//建堆--向上调整for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUP(arr, i);}//排序int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&arr[end], &arr[0]);AdjustDOWN(arr, 0, end);end--;}
}

1.2.TOP-K问题

TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是:如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下:

通过前面的学习可了解到，小堆的堆顶是数据的最小值，所以若想通过小堆找最小，就需要遍历所有的数据，在进行堆排序，这对于大数据肯定是不行的，

那么换一种思路，用小堆找最大数据：将前K个数据直接建小堆，然后再遍历剩下的n-k个数据，将其与堆顶进行比较，若比堆顶大，则替换堆顶，来回重复，最后构成一个新堆，该堆就是数据中前K大的数。

而找前K小的数据道理相同，所以就可以总结出：

找最大的前K个数据，建小堆

找最小的前K个数据，建大堆

实践：

先通过代码生成10万个数据，并保存在data.txt文件中

随后实现topK函数：

void TopK()
{int k =0;printf("请输入k:");scanf("%d", &k);const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen fail");exit(1);}//找最大的前K个数据--建小堆//找最小的前K个数据--建大堆int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minHeap == NULL){perror("malloc fail");exit(1);}for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);}//minHeap -- 向下调整建堆for (int i = (k - 2) / 2; i >=- 0; i--){//找最大的前K个数据--建小堆//找最小的前K个数据--建大堆AdjustDOWN(minHeap, i, k);}//遍历剩下的n-k个数据，跟堆顶比较，堆顶小替换堆顶数据int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){//找最大>//找最小<if (x > minHeap[0]){minHeap[0] = x;AdjustDOWN(minHeap, 0, k);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");fclose(fout);
}

先读取文件数据，取前K个保存在数组中，并构成堆，随后遍历剩下的n-k个数据，进行比较替换。

最后成功打印

二.实现链式结构二叉树

二叉树的相关知识需要用到递归知识，所以建议先学习递归后再来看以下文章！！！

---

2.1二叉树的插入与删除

数据的插入和删除可以在二叉树的任何位置，所以此时暂时不写文章，在后期学习到平衡树，红黑树等在进行编写。

2.2二叉树的遍历

二叉树的遍历有前序/中序/后序的遍历的递归结构遍历：

1）前序遍历：访问根节点的操作在遍历其左右子树之间

 访问顺序为:根结点、左子树、右子树

2）中序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)

访问顺序为:左子树、根结点、右子树

3）后序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后

访问顺序为:左子树、右子树、根结点

遍历的实现：

通过函数的递归实现遍历，需要先判断递归条件，当目前根节点为NULL时，递归中止，拿前序遍历为例，在目前根节点时，先访问根节点的data，随后根据前序遍历的顺序，分别访问左子树，右子树，进行递归。那么中序遍历与后序遍历也就很好写出来了。

构造文章上文的二叉树例子，然后进行遍历输出：

2.3二叉树的结点个数

1.运用二叉树遍历的知识，通过递归遍历每一个结点，然后size++,那么结果会是什么呢？

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{int size = 0;if (root == NULL){return;}//结点非空，+1size++;BinaryTreeSize(root->left);BinaryTreeSize(root->right);return size;
}

运行后可以发现，不管调用几次，size都为1，原因是因为，每次递归size都被初始化为0

2.那么把size设为全局变量后是不是就可以避免了？

int size = 0;
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}//结点非空，+1size++;BinaryTreeSize(root->left);BinaryTreeSize(root->right);return size;
}

运行后发现，虽然第一次调用size的结果是正确的，但是经过多次调用，size的值就会越加越大。

3.这次换一种思路，直接把size设为参数进行调用。

int BinaryTreeSize(BTNode* root, int size)
{if (root == NULL){return;}//结点非空，+1size++;BinaryTreeSize(root->left,size);BinaryTreeSize(root->right,size);return size;
}

这一次发现结果又变为三个1，分析原因，当递归回溯的时候，size的值会返回到上一步的值，例如当递归到4结点时，size=3，但是回溯到2结点时，size又回到了2

4.要解决这个问题，把传值调用改为传址调用就可解决。

int BinaryTreeSize(BTNode* root,int*size)
{if (root == NULL){return 0;}//结点非空，+1(*size)++ ;BinaryTreeSize(root->left,size);BinaryTreeSize(root->right,size);return *size;
}

这时结果就正确了，但是，每次调用参数，都需要把size初始化为0，有一点麻烦，在对函数进行改造

分析二叉树可知，结点数 = 根结点+左子树的结点数+右子树的结点数 

最终版：

//二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}//结点非空，+1return 	1 + BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}

2.4二叉树叶子结点数

叶子结点数 = 左子树叶子节点数 + 右子树叶子结点数

结合刚才学到的结点数的知识，可以写出：

//二叉树叶子节点数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

2.5二叉树第K层结点个数

//二叉树第K层结点个数
int BinaryTreeLevelSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelSize(root->right, k - 1);
}

2.6二叉树的深度

深度 = 根结点 + max（左子树的深度+右子树的深度）

//二叉树的深度
int BinaryTreeDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return 1 + max(BinaryTreeDepth(root->left), BinaryTreeDepth(root->right));//return 1 + (BinaryTreeDepth(root->left) > BinaryTreeDepth(root->right) ? BinaryTreeDepth(root->left) : BinaryTreeDepth(root->right));
}

2.7二叉树查找值为x的结点

//二叉树查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDtatatype x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode*leftFind =  BinaryTreeFind(root->left, x);if (leftFind){return leftFind;}BTNode*rightFind =  BinaryTreeFind(root->right, x);if (rightFind){return rightFind;}
}

2.8二叉树的销毁

//二叉树的销毁
void BinaryTreeDestroy(BTNode** root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestroy(&((*root)->left));BinaryTreeDestroy(&((*root)->right));free(*root);*root = NULL;
}

二叉树的层序遍历

借助数据结构--队列

首先将之前所编写过的队列的.h和.c文件导入进来

注意：

1.要包含队列的头文件

2.修改队列的头文件：修改队列的保存类型，务必要加struct，为了告诉编译器BinaryTreeNode是个结构体。

2.9层序编列实现：

//层序遍历
void levelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){//取队头，出队头BTNode*top =  QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", top->data);//将左右孩子入队列if (top->left)QueuePush(&q, top->left);if (top->right)QueuePush(&q, top->right);}QueueDestrory(&q);
}

2.10判断是否为完全二叉树

前置知识：完全二叉树的特点：

1）最后一层节点个数不一定达到最大

2）结点从左到右依次排列

与二叉树的层序遍历相同，借助队列进行实现：

在第一个循环中，取队头，出对头，直到遇到第一个空结点出循环，并进入到第二个循环。

若在第二个循环中，从非空队列中取到了非空的队头结点，那么该二叉树一定不是完全二叉树，否则一定是完全二文树

//判断是否为完全二叉树
bool BinaryTreeComlete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){//取队头，出队头BTNode* top = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (top == NULL){break;}QueuePush(&q, top->left);QueuePush(&q, top->right);}//队列不一定为空while(!QueueEmpty(&q)){BTNode* top = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (top != NULL){return false;}}QueueDestrory(&q);return true;
}

以上图做例子，应不是完全二叉树：符合预期

把G H I结点去掉后应为完全二叉树：符合预期