Sobolev space | 理论基础 / Green 公式

注：本文为“Sobolev space”相关合辑。

略作重排，如有内容异常，请看原文。

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对索伯列夫空间的一个浅显易懂的解释

玉名卍于 2016-05-15 21:46:36 发布

1 $Dirichlet$ 原理

微分方程是伴随着微积分的产生而产生的。而微分方程的核心问题是求解问题，直到 19 世纪中叶，下列 $Dirichlet$ 问题：

求 $u(x,y)\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$ 满足

$$\begin{array}{cc}△u=0& in\Omega \\ u=\varphi & on\partial \Omega \end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中 $\varphi \in C(\partial \Omega )$，仍是当时的一个重大问题。德国数学家 Riemann 随后提出了著名的 Dirichlet 原理：

∃ u 0 ∈ A ≡ { u ∈ C 1 ( Ω ) ∣ u x , u y ∈ L 2 ( Ω ) , u ∣ ∂ Ω = ϕ } \exists\; u_0 \in A \equiv \{ u \in C^1 (\Omega) \mid u_x,u_y \in L^2 (\Omega), u|_{\partial \Omega} = \phi \} ∃u0​∈A≡{u∈C1(Ω)∣ux​,uy​∈L2(Ω),u∣∂Ω​=ϕ}，使得 $I(u_0)$ 达到最小值，则 $u_0$ 必是上述方程的解。其中
$$I(u)\equiv {\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^{2}dxdy={\int }_{\Omega }(u_x^2+u_y^2)dxdy\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

因对任意 $u\in A$，$I(u)⩾0$，故 $\underset{A}{\inf }I(u)$ 存在，Riemann 认定，必存在 $\bar{u}\in A$，使得

$$I(\bar{u})=\underset{A}{\inf }I(u)=\underset{A}{\min }I(u)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

当时，人们认为这是无可置疑的，但在 1870 年法国数学家 Weierstrass 用巧妙的数学证明推翻了这个论断。数学家们意识到，Riemann 所建立的数学模型有缺陷，无法准确用来描述微分方程解的函数空间。接下来的当务之急就是建立能够很好地描述微分方程解及边值问题的理论体系。首先遇到的问题是如何把函数的概念及方程解的概念拓广，这就要引入检验函数的概念，它的严格的数学基础是在 20 世纪 40 年代由 Schwartz 等人完成的，但在本文并不打算讨论广义函数。

2 检验函数的基本空间 $\mathbb{D}(\Omega )$

基本空间是指一类 “性质很好” 的空间。这里需要先引入支集的概念：

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是一个开集，$u\in C(\bar{\Omega })$，称集合

F = { x ∈ Ω ∣ u ( x ) ≠ 0 } (2.1) F = \{ x \in \Omega \mid u (x) \neq 0 \} \tag{2.1} F={x∈Ω∣u(x)=0}(2.1)

的闭包（关于 $\Omega$）为 $u$ 的关于 $\Omega$ 的支集，记作 $\text{supp}u$。换句话说，连续函数的支集是在此集外恒为 0 的相对于 $\Omega$ 的最小闭集。对于整数 $k⩾0$，记支集在 $\Omega$ 内紧的全体 $C^k(\Omega )$ 函数所组成的集合为 $C_0^k(\Omega )$。在历史上，紧集的引入是为了建立豪斯多夫空间。这里引入紧支集的目的是为了基本空间的完备性。就像一个经典的定理：连续映射将紧集映射为紧集。这样就可以保证了在该空间上应用连续函数的合理性。所谓基本空间 $\mathbb{D}(\Omega )$ 就是指 $C_0^{\infty }(\Omega )$，并且满足下述的收敛性：

我们说序列 { ϕ j } \{ \phi_j \} {ϕj​} 收敛于 $\varphi$，如果

1. 存在一个相对于 $\Omega$ 的紧集 $K$，使得 $\text{supp}({\varphi }_j)\subset K$ ($j=0,1,2,\cdots$)。
2. 对于任意指标 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，都有

$$\underset{x\in K}{\max }|{\partial }^{\alpha }{\varphi }_j(x)-{\partial }^{\alpha }\varphi (x)|\to 0(j\to \infty )$$

这样的空间是能够满足我们微分方程的解的需求的（通过引入广义解）。但它有一个缺陷，使得我们在使用它时并不是很方便，我们只在 $\mathbb{D}(\Omega )$ 上引进了收敛性，并没有给定拓扑，也就是说并没有定义范数。所以 $\mathbb{D}(\Omega )$ 并不是 Banach 空间。

接下来的思路自然是能不能找到另外一个模型，使得在结构上等于或者趋近于 $\mathbb{D}(\Omega )$。而且近似的满足 Banach 空间的拓扑结构呢？

3 空间 $B_0$

我们想用模来刻画上述的这种收敛性。事实上，可以引入可数个模（半模）：

$$\Vert \phi {\Vert }_m=\sum _{|a|⩽m}\underset{x\in K}{\max }|{\partial }^{\alpha }\phi (x)|(m=1,2,\cdots )\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

所以显而易见，$\mathbb{D}(\Omega )$ 上的收敛性可以由这可数个模来描写：为了 ${\phi }_j\to \theta (\mathbb{D}(\Omega ))$，其中 $\theta$ 为零函数，必须且仅需 $\forall m\in \mathbb{N}$，有

$$\Vert {\varphi }_j{\Vert }_m\to 0(j\to 0)\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

即 $\forall \epsilon >0$，$\forall m\in \mathbb{N}$，$\exists N=N(\epsilon ,m)$，使得 $\Vert {\varphi }_j{\Vert }_m<\epsilon$ ($j>N$)。

定义了如上的可数个半模，即为 $B_0$ 空间。

到这里了，似乎结果已经挺完满，可数学家们不可能停滞，还想：是否能用一个范数来近似的刻画这可数个半模？或者更加好的结果，能否定义一个 Banach 空间来刻画或者近似的刻画这样的数学模型？自然想到了用加和的形式定义范数。这就引出了索伯列夫空间。

4 索伯列夫空间 (Sobolev)

本文写的较为浅显，目的只是对索伯列夫空间的由来提供自己的一点思路，很多知识点没有引出。在这里，索伯列夫空间仅指整指数的索伯列夫空间。

定义：设 $\Omega$ 是一个开集，$m$ 是非负整数，$1⩽p<\infty$，称集合

W m , p ( Ω ) = { u ∈ L p ( Ω ) ∣ ∂ α ~ u ∈ L p ( Ω ) , ∣ α ∣ ⩽ m } (4.1) W^{m,p}(\Omega) = \{ u \in L^p (\Omega) \mid \tilde {\partial^\alpha} u \in L^p (\Omega), \ | \alpha | \leqslant m \} \tag{4.1} Wm,p(Ω)={u∈Lp(Ω)∣∂α~u∈Lp(Ω), ∣α∣⩽m}(4.1)

按模

$$\Vert u{\Vert }_{m,p}={\left(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert \widetilde{{\partial }^{\alpha }}u{\Vert }_{L^p(\Omega )}^p\right)}^{1/p}={\left(\sum _{|\alpha |⩽m}{\int }_{\Omega }|\widetilde{{\partial }^{\alpha }}u(x){|}^{p}dx\right)}^{1/p}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

构成的空间为索伯列夫空间。记为 $W^{m,p}(\Omega )$ 或 $W_p^m(\Omega )$。其中 $\widetilde{{\partial }^{\alpha }}=(-1{)}^{|\alpha |}({\partial }^{\alpha }{)}^{\ast }$ 是广义微商运算，即 $⟨\widetilde{{\partial }^{\alpha }}f,\varphi ⟩=⟨f,{\partial }^{\alpha }\varphi ⟩$ ($\forall \varphi \in \mathbb{D}(\Omega )$)。该运算法则巧妙的将泛函的微分转移到普通函数上面，是通过格林公式（或者分部积分法）推导出来的，这里就不详述。

容易得出，该范数可以近似的描述上述的可数模，并且满足范数的性质。另外可以证明 $W^{m,p}(\Omega )$ 是完备的，是 Banach 空间，特别的，当 $p=2$ 时，是 Hilbert 空间（定义内积为：

$$(u,v{)}_{m,2}=\sum _{|\alpha |⩽m}(\widetilde{{\partial }^{\alpha }}u,\widetilde{{\partial }^{\alpha }}v{)}_2=\sum _{|\alpha |⩽m}{\int }_{\Omega }\widetilde{{\partial }^{\alpha }}u\cdot \widetilde{{\partial }^{\alpha }}vdx$$

）。并且 $\mathbb{D}(\Omega )$ 在 $W^{m,p}(\Omega )$ 中是稠密的。

除此之外，可以定义 $W_0^{m,p}$ 是 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $W^{m,p}(\Omega )$ 中的闭包。则 $W_0^{m,p}$ 是 Banach 空间，且满足 $W_0^{m,p}({\mathbb{R}}^n)=W^{m,p}({\mathbb{R}}^n)$。

至此，良好的数学模型就建立起来了，我们可以用它来解决前面的 Dirichlet 问题。

考虑 Dirichlet 问题
$$\{\begin{array}{ll}-\Delta u=f& \text{in }\Omega \\ u=0& \text{on }\partial \Omega \end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

若存在 $u\in \text{completion of }{C}^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })\text{ in }{W}_2^1(\Omega )$ 使得
$$J(u)=\underset{v\in W_0^{1,2}}{\min }J(v)\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

其中
$$J(v)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla v{|}^2-{\int }_{\Omega }fv\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

则称 $u$ 是式 4.3 的广义解（弱解）。

利用 Sobolev 空间的理论，不难证明当 $f\in L^2(\Omega )$ 时，上述方程必存在唯一解，即解决了 Dirichlet 问题。

参考文献

[1] 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义
[2] 王元明, 徐君祥. 索伯列夫空间讲义
[3] JEAN-PIERRE AUBIN. 应用泛函分析（赖汉卿 译）
[4] L．施瓦兹. 广义函数理论（姚家燕 译）
[5] Wikipedia.

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泛函分析笔记: Sobolev 空间、Green 公式

豆沙粽子好吃嘛!于 2020-11-07 13:24:40 发布

1. Sobolev 空间

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 的任一开子集，对于每个整数 $m⩾1$ 以及每个扩展的实数 $1⩽p⩽\infty$（扩展的实数是在实数的基础上带上无穷），实 Sobolev 空间记为 $W^{m,p}(\Omega )$。如果 $p=2$，则为 $H^m(\Omega )$。它由函数 $v\in L^p(\Omega )$ 组成，这些函数满足：对所有的重指标 $\alpha$，$1⩽|\alpha |⩽m$，$v$ 的弱偏导数 ${\partial }^{\alpha }v\in L^p(\Omega )$。

根据弱偏导数的定义，一个函数 $v\in L^p(\Omega )$ 属于 $W^{m,p}(\Omega )$，如果对每个重指标 $\alpha$，$1⩽|\alpha |⩽m$，存在一个函数 ${\partial }^{\alpha }v\in L^p(\Omega )$ 使得

$${\int }_{\Omega }({\partial }^{\alpha }v)\varphi dx=(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{\Omega }v{\partial }^{\alpha }\varphi dx,\forall \varphi \in \mathbb{D}(\Omega ).$$

其中 ${\partial }^{\alpha }v$ 是由该式唯一确定的，而且如果 $v\in C^m(\Omega )$，那么这就是一般意义上的偏导数。

1.1. Sobolev 空间的一些性质

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 的开子集，而 $m⩾1$ 是一个整数，装备范数

$$\Vert v{\Vert }_{m,p,\Omega }={\left(\sum _{|\alpha |⩽m}{\Vert {\partial }^{\alpha }v\Vert }_{L^p(\Omega )}^p\right)}^{1/p},1⩽p<\infty$$

$$\Vert v{\Vert }_{m,\infty ,\Omega }:=\underset{|\alpha |⩽m}{\max }{\Vert {\partial }^{\alpha }v\Vert }_{L^{\infty }(\Omega )},p=\infty$$

的 Sobolev 空间是 Banach 空间。

• 在 $1<p⩽\infty$ 时是可分的，$1<p<\infty$ 时是自反的。
• 在 $p=2$ 时是 Hilbert 空间。

有限宽度：${\mathbb{R}}^N$ 的一个子集如果位于 ${\mathbb{R}}^N$ 中的两个平行的超平面之间，则称其具有有限宽度。

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^N$ 是具有有限宽度的开子集，则有

• 对每 $1⩽p<\infty$，Poincare-Friedrichs 不等式成立，即：存在一个常数 $c=c(\Omega ,p)$ 使得

$$\Vert v{\Vert }_{0,p,\Omega }⩽c|v{|}_{1,p,\Omega },\forall v\in W_0^{1,p}(\Omega )$$

• 对每个 $m⩾1$，$1⩽p<\infty$，$\Vert \cdot {\Vert }_{m,p,\Omega }$ 是空间 $W_0^{m,p}(\Omega )$ 上等价于范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{m,p,\Omega }$ 的范数，即存在常数 $C=C(\Omega ,m,p)$ 使得

$$|v{|}_{m,p,\Omega }⩽\Vert v{\Vert }_{m,p,\Omega }⩽C|v{|}_{m,p,\Omega },\forall v\in W_0^{m,p}(\Omega )$$

1.2. 嵌入定理

嵌入

符号 $X\hookrightarrow Y$ 指赋范向量空间 $X$ 连续地嵌入赋范向量空间 $Y$，也就是说 $X\subseteq Y$ 而且存在一个常数 $c$ 使得 $\Vert v{\Vert }_Y⩽c\Vert v{\Vert }_X$，$\forall v\in X$，或者说，恒等映射 $I:(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)\to (Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ 是连续的。

Sobolev 嵌入定理

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的区域，$m⩾1$ 是整数，而 $1⩽p<\infty$，则有连续嵌入成立：

$$W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{\ast }}(\Omega ),\frac{1}{p^{\ast }}=\frac{1}{p}-\frac{m}{N},m<\frac{N}{p}$$

$$W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow L^q(\Omega ),m=\frac{N}{p},1⩽q<\infty$$

$$W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal{C}}^{0,m-N/p}(\Omega ),\frac{N}{p}<m<\frac{N}{p}+1$$

$$W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal{C}}^{0,\lambda }(\overline{\Omega }),0<\lambda <1,m=\frac{N}{p}+1$$

$$W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal{C}}^{0,\lambda }(\overline{\Omega }),\frac{N}{p}+1<m$$

1.3. Sobolev 空间中的 Green 公式

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的一个区域，$\nu =({\nu }_i{)}_{i=1}^N$ 表示沿着 $\Gamma$ 的单位外法向量场，设 $u\in W^{1,p}(\Omega )$，$v\in W^{1,q}(\Omega )$，$1⩽p<\infty$，$1⩽q<\infty$，并且满足

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\le 1+\frac{1}{N}\{\begin{array}{l}1\le q<N\text{ 且 }1\le p<N,\\ 1<q,N\le p,\\ 1<p,N\le q\end{array}$$

若函数 $u\in W^{1,p}(\Omega )$，$v\in W^{1,q}(\Omega )$，则对任意 $1\le i\le N$，乘积函数 $uv{\nu }_i$ 属于 $L^1(\Gamma )$，且成立 Green 公式：

$${\int }_{\Omega }u{\partial }_{i}vdx=-{\int }_{\Omega }({\partial }_{i}u)vdx+{\int }_{\Gamma }uv{\nu }_{i}d\Gamma$$

如果 $u,v\in H^1(\Omega )$，则基本 Green 公式对任何维数 $N⩾2$ 都成立。

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via：

• 对索伯列夫空间的一个浅显易懂的解释 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/fourierfeng/article/details/51393337
• 泛函分析笔记 (十九) Sobolev 空间、Green 公式 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/kzz6991/article/details/109545813