《高等数学》（同济大学·第7版）第十章 重积分第三节三重积分

以下是将原内容中所有LaTeX公式转换为纯文本后的版本（保留原结构和描述，仅替换公式部分）：

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同学们好！以下是《高等数学》第十章第三节三重积分的完整知识框架，结合典型例题的详细步骤解析，帮助你彻底掌握这一核心内容。

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一、三重积分的定义与物理意义

三重积分是二重积分的推广，用于计算三维空间中的体积或空间物体的质量。其定义式为：
∭_Ω f(x,y,z) dV = lim_{λ→0} Σᵢ=₁ⁿ f(ξᵢ, ηᵢ, ζᵢ) ΔVᵢ

• 几何意义：当 f(x,y,z) = 1 时，表示区域 Ω 的体积。
• 物理意义：当 f(x,y,z) 为密度函数时，表示物体的总质量。

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二、直角坐标系下的计算法

2.1 投影法（先一后二）

适用场景：区域可投影到坐标面（如 xOy 平面），z 的上下限易表达为 x,y 的函数。

步骤：

1. 投影到坐标面：将 Ω 投影到 xOy 平面，得投影区域 D_{xy}
2. 确定 z 范围：在 D_{xy} 内任取点 (x,y)，作平行于 z 轴的直线，与边界交于 z₁(x,y) 和 z₂(x,y)
3. 转化为三次积分：
   ∭_Ω f dV = ∬_{D_{xy}} [ ∫_{z₁(x,y)}^{z₂(x,y)} f dz ] dxdy

例题1：计算 ∭_Ω z dV（Ω 由 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 围成）
步骤解析：

1. 投影区域：三角形 D_{xy}: 0≤x≤1, 0≤y≤1-x
2. z 范围：0 ≤ z ≤ 1-x-y
3. 积分计算：
   ∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ ∫₀¹⁻ˣ⁻ʸ z dz dy dx
   • 内层积分：∫₀¹⁻ˣ⁻ʸ z dz = (1/2)(1-x-y)²
   • 中层积分：∫₀¹⁻ˣ (1/2)(1-x-y)² dy = (1/6)(1-x)³
   • 外层积分：∫₀¹ (1/6)(1-x)³ dx = 1/24
     答案：1/24

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2.2 截面法（先二后一）

适用场景：沿坐标轴（如 z 轴）的截面面积易求，被积函数仅依赖该坐标。

步骤：

1. 确定 z 范围：z ∈ [c₁, c₂]
2. 截面面积：对每个 z，截面 D_z 是 xOy 平面上的区域
3. 转化为积分：
   ∭_Ω f dV = ∫_{c₁}^{c₂} [ ∬_{D_z} f dxdy ] dz

例题2：计算 ∭_Ω z² dV（Ω: 球体 x²+y²+z²≤R²）
步骤解析：

1. 截面区域：D_z: x²+y²≤R²-z²，面积 π(R²-z²)
2. 积分计算：
   ∫₋ᴿᴿ z² · π(R²-z²) dz = 2π ∫₀ᴿ (R²z² - z⁴) dz = (4/15)πR⁵
   答案：(4/15)πR⁵

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三、柱坐标系下的计算法

3.1 柱坐标定义

• 坐标关系：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z
• 体积元素：dV = r dr dθ dz

适用场景：圆柱体、旋转抛物面，或被积函数含 x²+y²。

例题3：计算 ∭_Ω z dV（Ω 由 z=x²+y² 和 z=4 围成）
步骤解析：

1. 柱坐标转换：抛物面 z = r²
2. 积分区域：r∈[0,2], θ∈[0,2π], z∈[r²,4]
3. 积分计算：
   ∫₀²ᴾᴵ ∫₀² ∫_{r²}⁴ z · r dz dr dθ = 64π/3
   答案：64π/3

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四、球坐标系下的计算法

4.1 球坐标定义

• 坐标关系：
  x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
• 体积元素：dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ

适用场景：球体、圆锥体，或被积函数含 x²+y²+z²。

例题4：计算 ∭_Ω (x²+y²+z²) dV（Ω: 球体 x²+y²+z²≤R²）
步骤解析：

1. 球坐标转换：被积函数 → ρ²，体积元素 dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ
2. 积分限：ρ∈[0,R], φ∈[0,π], θ∈[0,2π]
3. 积分计算：
   ∫₀²ᴾᴵ ∫₀ᴾᴵ ∫₀ᴿ ρ⁴ sinφ dρ dφ dθ = (4/5)πR⁵
   答案：(4/5)πR⁵

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五、对称性与奇偶性简化计算

5.1 对称性分类

• 坐标平面对称：如 x=0,y=0,z=0
• 原点对称：若 (-x,-y,-z) ∈ Ω

5.2 奇偶函数性质

• 偶函数（如 f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)）：
  ∭_Ω f dV = 8 ∭_{Ω₁} f dV（Ω₁ 为第一卦限部分）
• 奇函数（如 f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)）：积分值为 0

例题5：计算 ∭_Ω xyz dV（Ω: 立方体 [-a,a]×[-a,a]×[-a,a]）
步骤解析：

• 对称性分析：xyz 关于 x,y,z 均为奇函数 → 积分=0

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六、综合应用与常见问题

6.1 质量与质心计算

例题6：求密度均匀球体 x²+y²+z²≤R² 的质心

• 解答：对称性 → 质心在原点 (0,0,0)

6.2 转动惯量计算

例题7：计算球体绕 z 轴的转动惯量 I_z = ∭_Ω (x²+y²)ρ dV

• 解答：球坐标 → I_z = (2/5)MR²

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