算法日记32：埃式筛、gcd和lcm、快速幂、乘法逆元
一、埃式筛（计算质数）
1.1、概念
1.1.1、在传统的计算质数中，我们采用单点判断，即判断(2~sqrt(n))是否存在不合法元素，若存在则判否，否则判是
1.1.2、假设，此时我们需要求1~1000的所有质数，此方法的时间复杂度就会变成O(n*sqrt(n)),这显然太过冗余了
- 因此，我们可以使用埃式筛
1.1.3、现在，求1~20中的所有质数，我们就可以：
-
1)首先将0、1排除：
-
2)创建从2到n的连续整数列表，[2,3,4,…,n]；
-
3)初始化 p = 2，因为2是最小的质数；
-
4)枚举所有p的倍数(2p,3p,4p,…)，标记为非质数（合数）；
-
5)找到下一个 没有标记 且 大于p 的数。如果没有，结束运算；如果有，将该值赋予p，重复步骤4;
-
6)运算结束后，剩下所有未标记的数都是找到的质数。
-
此时，
2是第一个质数，因此把2的倍数全部设置为1(vis[j]=1)将其全部筛出
-
接下来，发现
3为0，表示3是一个质数，因此我们把3的倍数也给筛掉
-
因此，我们可以发现只要其没有被其他数字筛掉，那么他就一定是质数
1.2、总结：
ll vis[N];//用来判断一个数是否被筛掉了，0->没被筛掉,1->筛掉
void solve()
{ll n;cin>>n;vis[0]=vis[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)//从2开始筛值{//从i*2开始，每次+i,当枚举到还没筛掉的数，筛掉for(ll j=i*i;j<=n;j+=i) {if(vis[i]==0) vis[j]=1;}}for(ll i=2;i<=n;i++) if(vis[i]==0) cout<<i<<' ';
}
2、最大公约数(gcd)和最小公倍数(lcm)
2.1、gcd求法
2.1.1、如何求解两个数(a,b)的最大公约数(gcd)？
- 使用辗转相除法
- 首先 ，我们假设(a>b)，通过数学公式不难得出：
- 1)
gcd(a,b)=gcd(a%b,b)，比如gcd(18,6)=gcd(0,6) - 2)
if(b==0)那么意味着此时的a即为最小公倍数
- 因此，代码可以写成
ll gcd(ll a,ll b) //只需记住，无论何时：a>b
{return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
2.2、lcm求法
2.2.1、如何求解两个数(a,b)的最小公倍数(lcm)？
- 只需记住一个公式即可：
a*b=gcd(a,b)*lcm(a*b);
3、快速幂
3.1、概念：求解ab
- 1、当
b为奇数时候，拆出一个a，此时，b就变成了一个偶数 - 2、当
b为一个偶数的时候，就拆出其次方项b-->2/b
3.1.1、代码实现
//快速幂
ll qmi(ll a,ll b,ll c) //a ^ b % c
{int res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%c,b--;//当b是奇数时，拆出一个a,使得 b 变成偶数else a=a*a%c,b>>=1; //此时b为偶数，拆出一个a*a，等待下次为奇数再计算答案}return res;
}
四、乘法逆元
4.1、概念
- 在写题目的时候，假设我们需要表达
a/b，是不好表达的，只能用浮点数来表示，因此我们就采用乘法逆元(类似于倒数 % p)来表示
4.2、那么，如何来求逆元呢？
- 我们可以使用费马小定理来求解
4.3、乘法逆元例题
- 题目链接
4.3.1、对于例题，我们可以对这个分式进行分解
- 因此，我们可以使用逆元来表示分数即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 7;
ll p=998244353;ll qmi(ll a,ll b) //快速幂
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p,b--;a=a*a%p,b>>=1;}return res%p;
}ll inv(int x) //求解x的逆元
{return qmi(x,p-2)%p;
}void solve()
{ll a,b,c,q;cin>>a>>b>>c>>q;while(q--){ll x;cin>>x;cout<<(a*x%p+b)%p*inv(c*x%p)%p<<'\n'; }
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int _ = 1; cin>>_;while (_--) solve();return 0;
}