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lanqiaoOJ 4185：费马小定理求逆元

news 来源：原创 2025/5/23 11:26:23

【题目来源】
https://www.lanqiao.cn/problems/4185/learning/

【题目描述】
给出 n，p，求 $n^{-1} \ mod \ p$ 。其中， $n^{-1} \ mod \ p$ 指存在某个整数 0≤a<p，使得 na mod p=1，此时称 a 为 n 的逆元，即 $a=n^{-1}$ 。数据保证 p 是质数且 n mod p≠0。

【输入格式】
输入包含一行，为两个整数 n，p。

【输出格式】
输出包括一行，为一个整数，表示 $n^{-1} \ mod \ p$ 。

【输入样例】
3 5

【输出样例】
2

【说明】
3×2 mod 5=1，所以 $2=3^{-1}$ 。

【评测数据规模】
对于100%的评测数据，1≤n, p≤10^9+7。

【算法分析】
● 本题本质是求解同余方程 nx≡1(mod p) 的解。注意：题目中的 $n^{-1}$ 表示 n 的逆元，是一个表示符号，而不是数学中的 n 分之一。
● 由于 p 是质数且 gcd(n,p)=1，所以可以用费马小定理求解。在此约束下，特别是当模数 p 特别大的时候，由于快速幂的加持，更优先推荐使用费马小定理求逆元。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;LL fastPow(LL a,LL n,LL p) {LL ans=1;while(n) {if(n & 1) ans=ans*a%p;n>>=1;a=a*a%p;}return ans%p;
}int main() {LL n,p;cin>>n>>p;cout<<fastPow(n,p-2,p);return 0;
}/*
in:3 5
out:2
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148008443
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/147980706